已知圆C 1 的方程为x 2 +y 2 -4x+2my+2m 2 -2m+1=0．（1）求实数m的取值范围；（2）求当圆的面积最大时圆

2025-06-12 14:43:29

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回答1：

（1）由题意，得：D² +E² -4F=16+4m² -4（2m² -2m+1）＞0，
即m² -2m-3＜0，∴（m-3）（m+1）＜0，∴-1＜m＜3，
故所求实数m的范围是-1＜m＜3．
（2）圆的面积最大，即圆的半径最大．
圆的半径 r=

D 2 + E 2 -4F

-4 m 2 +8m+12

- m 2 +2m+3

，
∴ r=

- (m-1) 2 +4

，因此当m=1时圆的半径最大，且为2，
所以圆C₁ 的方程为x² +y² -4x+2y+1=0，标准方程为（x-2）² +（y+1）² =4．
（3）由（2）可得圆C₁ 的圆心坐标为（2，-1）、半径等于2，设圆C₂ 的坐标为（a，b），
则C₁ C₂ 的中点为（

a+2

，

b-1

），且C₁ C₂ 的斜率为 k=

b+1

a-2

．
由题意可得，直线l垂直平分线段C₁ C₂ ，∴

a+2

b-1

+1 =0

b+1

a-2

=-1

，解得

a=-2

b=3

．
故所求的圆C₂ 的方程为（x+2）² +（y-3）² =4．