假设4n+1型的素数只有有限个，以p1,p2,...pk记之．
考虑数P=4*p1^2*p2^2*...*pk^2+1=x^2+1，
若P=4k+1是素数，则P明显大于任一pi,i=1,2,...,k，此乃一矛盾；
若P是合数，则不妨设p是其一质因子，知p是奇数，且p不同于pi, i=1,2,...,k．
又因为P=x^2+1，所以x^2≡-1(modp)，x^(p-1)≡(-1)^[(p-1)/2](modp)；而由费马小定理知，x^(p-1)≡ 1(modp)．
所以，(-1)^[(p-1)/2]=1，故p是4n+1型素数，也是矛盾的。
其实你问的3个问题就是狄利克莱定理的特殊形式。
狄利克莱定理：对于任意互质的正整数a,d，有无限多个质数的形式如a + nd，其中n为正整数。
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